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原子晶体、金属晶体、离子晶体，构成它们的原子或离子都以紧密排列的方式挨在一起，只要知道了原子或离子的排列方式和半径，就可以计算出晶胞中原子或离子的空间利用率，也可以计算出晶体的密度。

但分子晶体不同，分子之间并不是紧挨在一起，所以它们的空间利用率和密度，还需要知道分子的间距或晶胞的边长等，才能计算。

一、空间利用率的计算

1、空间利用率的计算式

若原子的半径为R，晶胞中原子有n个，立方晶胞的边长为a：

单个原子的体积为4πr³/3，立方晶胞的体积为a₃。

则空间利用率为

2、各种晶胞的空间利用率计算

(1)金属晶体的简单立方

①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。

②空间利用率计算：设球的半径为r，则正方体的边长为2r。

原子的总体积为4πr³/3。正方体的体积为8r³。

空间利用率为

(4πr³/3)/(8 r³)=π/6=52.36%

(2)金属晶体的体心立方

①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。

②空间利用率计算：在体心立方中，设为球半径为r，

则正方体的体对角线为4r。

又因为正方体的体对角线是边长的√3倍，则边长为4r /√3。

原子的总体积为2×4πr³/3，正方体的体积为64r³/3√3。

空间利用率为(2×4πr³/3)/(64r³/3√3)=π√3/8= 68.02%

(3)金属晶体的六方堆积

左图的粉色区域代表一个晶胞

由于1个正六棱柱相当于3个晶胞，所以用六棱柱的1/3进行计算。

①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6。

则晶胞中的原子数目为6×1/3=2。

②空间利用率计算：设球的半径为r，则面上正六边形的边长为2r。

正六棱柱的高的计算：

正六棱柱的高为两个边长为2r的正四面体的高。边长2r的正四面体的体高为2√6r/3，则正六棱柱的高为4√6r/3。

正六边形的面积为6×√3r²=6√3r²。

正六棱柱的体积为(6√3r²)×(4√6r/3)=24√2 r³。

晶胞体积为正六棱柱的1/3，为8√2r³。

原子的总体积为2×4πr³/3=8πr³/3。

空间利用率为(8πr³/3)/(8√2r³)=π/3√2= 74.05%

(4)金刚石原子晶体的结构

①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8

②空间利用率计算：根据两个C之间紧密相邻，若C的原子半径为r，则C－C为2r。

大立方体切8个小立方体，其中一个如右图。中间球位于小立方体的中心。小立方体的体对角线为4r(自己思考一下)，则小立方体的边长为4r/√3。

求得大立方体的边长为8r/√3，体积为512r³/3√3。

大立方体内的碳原子数为8，碳原子的总体积为8×4πr³/3=32πr³/3。

所以空间利用率为(32πr³/3)/(512 r³/3√3)=π√3/16=34.01%

二、密度计算

密度的计算式为

晶体的密度有两种计算形式，一种是知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算，一种是知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算。

1、知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算

若晶胞为正方体，边长为a pm，含有b个分子，分子的相对分子质量为M，则密度的计算过程为(别记结论，学会计算过程)

晶胞的体积为：(a×10^－12m)³= a³×10^－36m³

晶胞中分子的总质量为：m=nM=(b/N_A)M= bM/6.02×10²³g

ρ=M/V=(bM/6.02×10²³g) /( a³×10^－36m³)=(bM×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

(1)CO₂分子晶体的密度计算：

已知CO₂分子晶体的结构如下图(面心立方)，晶胞边长为572pm(计算数据)。

①晶胞中的分子数目计算：8×1/8＋6×1/2=4

一个晶胞中有4个CO₂。

②晶体密度计算：

m=nM=[4/(6.02×10²³/mol)]×44g/mol=2.9236×10^－22g

V=(572×10^－12)³m³=1.8715×10^－28m³

ρ=m/V=2.9236×10^－22g /1.8715×10^－28m³=1.562×10⁶g/m³=1.562g/ cm³。

(2)Po(钋)，相对原子质量为209，晶胞边长为336pm。

①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。

②密度计算：

m=nM=[1/(6.02×10²³/mol)]×209g/mol=3.472×10^－22g

V=(336×10^－12)³m³=3.7933×10^－29m³

ρ=m/V=3.472×10^－22g /3.7933×10^－29m³=9.153 ×10⁶g/m³=9.153g/cm³

2、知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算

先用原子或离子的半径计算出晶胞的边长，然后再进行密度计算。

(1)Na的体心立方

Na的原子半径r=186pm。

①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。

②密度计算：

先计算晶胞的边长a：根据体对角线=√3a=4r，

边长a=4r/√3=4×186pm/√3=429.56pm。

m=nM=[2/(6.02×10²³/mol)]×23g/mol=7.6412×10^－23g

V=(429.56×10^－12)³m³=7.9263×10^－29m³

ρ=m/V=7.6412×10^－23g /7.9263×10^－29m³=9.64 ×10⁵g/m³=0.964g/cm³

(2)Zn的六方堆积：

Zn的范德华半径为139pm。

①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6

②密度计算：六方最密堆积不是正方体晶胞，不能用正方体的公式计算。

用上面的正六棱柱计算，正六棱柱的边长为278pm。

若边长为r，体积为24√2 r³。(计算式见空间利用率计算的(3))

V=24√2 r³=24√2×(139×10^－12m)³=9.1153×10^－29m³

m=nM=[6/(6.02×10²³/mol)]×65.38g/mol=6.5163×10^－22g

ρ=m/V=6.5163×10^－22g /9.1153×10^－29m³=7.15 ×10⁶g/m³=7.15g/cm³

(3)金刚石原子晶体的结构

①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8

②密度计算：以金刚石结构为例，C的共价半径为77pm。

大立方体的边长为8r/√3，即355.65 pm。(计算式见空间利用率计算的(4))

m=nM=[8/(6.02×10²³/mol)]×12g/mol=1.5947×10^－22g

V=(355.65×10^－12)³m³=4.4985×10^－29m³

ρ=m/V=1.5947×10^－22g /4.4985×10^－29m³=3.545 ×10⁶g/m³=3.545g/cm³

(4)离子晶体的密度计算：

①NaCl：Na^＋的离子半径为95pm，Cl^－的离子半径为181pm

晶胞边长的计算：2r(Na^＋)＋2r(Cl^－)=552pm。

其中含Na^＋4个，Cl^－4个。

m=nM=[4/(6.02×10²³/mol)]×23g/mol＋[4/(6.02×10²³/mol)]×35.45g/mol=3.8837×10^－22g

V=(552×10^－12)³m³=1.682×10^－28m³

ρ=m/V=3.8837×10^－22g /1.682×10^－28m³=2.309×10⁶g/m³=2.309g/cm³

②CsCl：Cs^＋的离子半径为169pm，Cl^－的离子半径为181pm。

晶胞边长的计算：[2r(Cs^＋)＋2r(Cl^－)]/√3=404.15pm。

其中含Cs^＋1个，Cl^－1个。

m=nM=[1/(6.02×10²³/mol)]×132.9g/mol＋[1/(6.02×10²³/mol)]×35.45g/mol=2.7965×10^－22g

V=(404.15×10^－12)³m³=6.6013×10^－29m³

ρ=m/V=2.7965×10^－22g /6.6013×10^－29m³=4.236×10⁶g/m³=4.236g/cm³

③CaF₂：Ca^2＋的离子半径为99pm，F^－的离子半径为136pm。

右侧为晶胞的八分之一

晶胞边长计算为2{[2r(Ca^2＋)＋2r(F^－)]/√3}=542.71pm。

其中含Ca^2＋4个，F^－8个，则密度为

M=nm=[4/(6.02×10²³/mol)]×40g/mol＋[8/(6.02×10²³/mol)]×19g/mol=5.1827×10^－22g

V=(542.71×10^－12)³m³=1.5985×10^－28m³

ρ=m/V=5.1827×10^－22g /1.5985×10^－28m³=3.242×10⁶g/m³=3.242g/cm³

【练习】

1、求金属晶体的面心立方的空间利用率，写出详细解题过程。

2、Ag的面心立方堆积，已知，Ag的原子半径为144pm。求Ag的密度，写出详细解题过程。

【练习答案】

1、①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2=4。

②空间利用率计算：设球半径为r，则正方体的面对角线为4r。

又因为正方体的面对角线是边长的√2倍，则正方体的边长为2√2r。

原子的总体积为4×4πr³/3=16πr³/3，正方体的体积为16√2r³。

空间利用率为(16πr³/3)/(16√2 r³)=π/3√2= 74.05%

2、①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2=4。

②密度计算：

先计算晶胞的边长a：根据面对角线=√2a=4r，

边长a=4r/√2=4×144pm/√2=407.29pm。

m=nM=[4/(6.02×10²³/mol)]×10⁸g/mol=7.1761×10^－22g

V=(407.29×10^－12)³m³=6.7563×10^－29m³

ρ=m/V=7.1761×10^－22g /6.7563×10^－29m³=1.062 ×10⁷g/m³=10.62g/cm³