化学自习室移动版

三、晶体的晶胞粒子数计算、空间利用率的计算、密度计算。(晶体计算其实很简单，用到一点数学中的立体几何知识，加上简单的长度计算和立方体、球体的体积计算)

计算通式：(正方体晶胞)

若正方体的边长为a pm，含有b个分子，分子的相对分子质量为M，则密度的计算方法为

ρ=M(g/mol)×{[b/(a×10^－12m)³]/6.02×10²³(/mol)}

=(Mb×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

1、分子晶体的结构

由于CO₂分子大小未知，CO₂分子之间也不是最密堆积，所以不要求计算空间利用率，只要求计算晶胞中有多少个CO₂分子。

(1)晶胞中的分子数目计算：8×1/8＋6×1/2=4

一个晶胞中有4个CO₂。

(2)晶体密度计算：晶胞边长为572.265pm(计算数据)。

ρ=(Mb×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

=(44×4×10¹³)/(6.02×572.265³) g/m³

=1560000g/m³=1.56g/ cm³

实际干冰的密度为1.56g/ cm³。

2、原子晶体的结构

(1)晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8

一个晶胞中有8个C。

(2)空间利用率计算：根据两个C之间紧密相邻，设C的原子半径为1，则C－C为2。

大立方体切8个小立方体，其中一个如右图。中间球位于小立方体的中心。小立方体的体对角线为2，小立方体的边长为4/√3。

求得大立方体的边长为8/√3，体积为512/3√3。

大立方体内的碳原子数为：8×1/8＋6×1/2＋4=8，总体积为8×π×4/3。

所以空间利用率为(8×4π/3)/(512/3√3)=34.01%

(3)密度计算：以金刚石结构为例，C的共价半径为77pm。

ρ=12(g/mol)×{[8/(512/3√3)] ×(77×10^－12m)³}/[6.02×10²³(/mol)]

=3.545×10⁶g/ m³=3.545 g/ cm³

实际金刚石的密度为3.52 g/ cm³。

4、金属晶体的结构

(1)简单立方

①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。

②空间利用率计算：设球的半径为1，则正方体的边长为2，正方体的体积为8。

原子的总体积为4π/3。

空间利用率为(4π/3)/8=52.36%

③密度计算：若为Po(钋)，原子半径为153pm，晶胞边长为336pm(资料数据)。则密度为

ρ=(Mb×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

=(209×1×10¹³)/(6.02×336³)g/m³

=9.15 ×10⁶g/m³=9.15g/cm³

实际Po的密度9.32g/cm³。

(2)体心立方

①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。

②空间利用率计算：在体心立方中，设为球半径为1，则正方体的体对角线为4，正方体的边长为4/√3。

正方体的体积为64/3√3。

原子的总体积为2×4π/3。

空间利用率为(2×4π/3)/(64/3√3)= 68.02%

③密度计算：若为Na，原子半径为186pm。

计算得晶胞边长为429.56pm。则密度为

ρ=(Mb×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

=(23×2×10¹³)/(6.02×429.56³)g/m³

=9.64 ×10⁵g/m³=0.964g/cm³

实际Na的密度0.968g/cm³。

(3)面心立方

①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2=4。

②空间利用率计算：设球半径为1，则正方体的面对角线为4，正方体的边长为2√2。

正方体的体积为16√2。

原子的总体积为4×4π/3=16π/3。

空间利用率为(16π/3)/(16√2)= 74.05%

③密度计算：若为Ag，原子半径为144pm。

计算得晶胞边长为407.29pm。则密度为

ρ=(Mb×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

=(108×4×10¹³)/(6.02×407.29³)g/m³

=10.62 ×10⁶g/m³=10.62g/cm³

实际Ag的密度10.5g/cm³。

(4)六方堆积

红色代表一个晶胞

①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6

(晶胞为正六棱柱的1/3，则原子数目为2)

②空间利用率计算：设球的半径为1，则面上正六边形的边长为2，面积为6×√3=6√3。

正六棱柱的高为2×(2√6/3)=4√6/3，正六棱柱的体积为(6√3)×(4√6/3)=24√2。

(晶胞体积为正六棱柱的1/3，为8√2)

原子的总体积为2×4π/3=8π。

空间利用率为2π/(8√2)= 74.05%

③密度计算：六方最密堆积不是正方体晶胞，不能用正方体的公式计算。

若为Zn，范德华半径为139pm，用上面的正六棱柱计算，则密度为

ρ={65.38g/mol×2/[8√2× (139×10^－12m)³]}/(6.02×10²³/mol)

=7.15×10⁶g/ m³=7.15g/cm³

实际Zn的密度7.14g/cm³。

4、离子晶体的密度计算：

①NaCl：Na^＋的离子半径为95pm，Cl^－的离子半径为181pm

计算得晶胞边长为552pm。

其中含Na＋4个，Cl－4个，则密度为

ρ=(Mb×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

=[(23×4＋35.45×4)×10¹³]/(6.02×552³)g/m³

=2.312 ×10⁶g/m³=2.312g/cm³

实际NaCl的密度2.165g/cm³。

②CsCl：Cs^＋的离子半径为169pm，Cl^－的离子半径为181pm

计算得晶胞边长为404pm。

其中含Cs＋1个，Cl－1个，则密度为

ρ=(Mb×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

=[(132.9＋35.45)×10¹³]/(6.02×404³)g/m³

=4.24 ×10⁶g/m³=4.24g/cm³

实际CsCl的密度3.98g/cm³。

③CaF₂：Ca^2＋的离子半径为99pm，F^－的离子半径为136pm

计算得晶胞边长为542.7pm。

其中含Ca^2＋4个，F^－8个，则密度为

ρ=(Mb×10¹³)/(6.02×a³)g/m³

=[(40×4＋19×8)×10¹³]/(6.02×542.7³)g/m³

=3.24 ×10⁶g/m³=3.24g/cm³

实际CaF₂的密度3.18g/cm³。

【练习】

1、下图为CO₂晶胞，一个晶胞中包含个CO₂分子。

2、金刚石的晶胞如下图所示，一个晶胞中包含个碳原子。

3、计算下面的正六棱柱中有多少个球。。

4、计算简单立方堆积的空间利用率。写出计算式：。

5、若某金属的相对原子质量为X，原子半径为y pm，晶体中原子的堆积方式为简单立方，求此金属的密度。写出计算过程。

【练习答案】

1、4。

2、8。

3、6。

4、设球的半径为1，则正方体的边长为2，正方体的体积为8。

原子的总体积为4π/3。

空间利用率为(4π/3)/8=π/6=52.36%

5、ρ=(Mb×10¹³)/(6.02×a³) g/m³

=(X×1×10¹³)/[6.02×(2y)³]g/m³

=4×10¹⁵X/301y³(g/m³)